Test Statistics Explained: Z, T, and Chi-Square

The Detective's Dilemma 🔍जासूस की दुविधा 🔍侦探的两难 🔍

Imagine you are a detective called to a scene. Your partner says: "Something strange happened here — I just don't know what." You search in every direction. That is a two-tailed test — open to surprises on either side.

मान लीजिए आप एक जासूस हैं जिसे किसी जगह बुलाया गया है। आपका साथी कहता है: "यहाँ कुछ अजीब हुआ है — पर मुझे नहीं पता क्या।" आप हर दिशा में खोजते हैं। यह two-tailed test है — दोनों तरफ़ के आश्चर्यों के लिए खुला।

想象你是一名被叫到现场的侦探。搭档说：“这里发生了怪事 —— 但我不知道是什么。”你向各个方向搜查。这就是双侧检验 —— 对两边的意外都保持开放。

Now imagine an informant tells you: "The suspect ran north." You search only northwards. That is a one-tailed test — you committed to a direction before the search began. If the suspect actually ran south, you will never find him.

अब मान लीजिए एक मुख़बिर कहता है: "संदिग्ध उत्तर की ओर भागा।" आप सिर्फ़ उत्तर में खोजते हैं। यह one-tailed test है — आपने खोज शुरू होने से पहले एक दिशा चुन ली। अगर संदिग्ध असल में दक्षिण भागा, तो आप उसे कभी नहीं ढूँढ पाएँगे।

再想象线人告诉你：“嫌疑人往北跑了。”你只往北搜。这就是单侧检验 —— 你在搜查开始之前就认定了方向。如果嫌疑人其实往南跑了，你永远找不到他。

Both approaches are valid. But choosing the wrong one — especially picking a direction after seeing your data — is one of the most common and damaging mistakes in statistics. This tutorial shows how to tell them apart, when to use each, and how the choice changes your conclusion.

दोनों तरीके सही हैं। पर ग़लत तरीका चुनना — ख़ासकर data देखने के बाद दिशा चुनना — statistics की सबसे आम और नुक़सानदेह ग़लतियों में से एक है। यह tutorial दिखाता है कि इन्हें कैसे पहचानें, कब कौन सा इस्तेमाल करें, और यह चुनाव आपके निष्कर्ष को कैसे बदलता है।

两种做法都是有效的。但选错 —— 尤其是在看到数据之后才选方向 —— 是统计学中最常见、危害最大的错误之一。本教程教你如何区分它们、各自何时使用，以及这个选择如何改变你的结论。

The Core Difference at a Glanceमुख्य अंतर एक नज़र में一眼看懂核心区别

Every hypothesis test gives a test statistic — a number that says how far your sample result is from what H₀ predicts. The question is: which "extreme" results count as evidence against H₀? That depends on where you put the rejection region.

हर hypothesis test एक test statistic देता है — एक संख्या जो बताती है कि आपका sample नतीजा H₀ की भविष्यवाणी से कितना दूर है। सवाल है: कौन-से "extreme" नतीजे H₀ के ख़िलाफ़ सबूत गिने जाएँ? यह इस पर निर्भर है कि आप rejection region कहाँ रखते हैं।

每个假设检验都会给出一个检验统计量 —— 表示样本结果离 H₀ 的预测有多远。问题是：哪些“极端”结果算作反驳 H₀ 的证据？这取决于你把拒绝域放在哪里。

One vs Two Tails in Pictures — Understand Before the Mathsतस्वीरों में One vs Two Tails — गणित से पहले समझें图解单侧 vs 双侧 — 先理解，再算数

Three pictures tell the whole story: where the 5% goes, how one z can get two different verdicts, and what each choice does to your power.

तीन तस्वीरें पूरी कहानी बताती हैं: 5% कहाँ जाता है, एक ही z को दो अलग फ़ैसले कैसे मिल सकते हैं, और हर चुनाव आपकी power पर क्या असर डालता है।

三张图讲完整个故事：5% 放在哪里、同一个 z 如何得到两种判决、以及每种选择对检验力的影响。

Explore the Rejection RegionsRejection Regions को खोजें探索拒绝域

The rejection region is the shaded area under the curve. If your test statistic lands there, you reject H₀. The same α = 5% is placed differently for each test type — that is why a one-tailed test is "more powerful" in one direction.

Rejection region, curve के नीचे का छायांकित area है। अगर आपका test statistic वहाँ गिरता है, तो आप H₀ reject करते हैं। वही α = 5% हर test type में अलग जगह रखा जाता है — इसीलिए one-tailed test एक दिशा में "ज़्यादा powerful" होता है।

拒绝域是曲线下的阴影部分。检验统计量落在那里，就拒绝 H₀。同样的 α = 5%，在不同检验类型中放的位置不同 —— 这就是单侧检验在某一方向上“更有力”的原因。

Story 1 — The Protein Bar Company 🏋️कहानी 1 — Protein Bar कंपनी 🏋️故事 1 — 蛋白棒公司 🏋️

A sports-nutrition company launches a new protein bar and wants to claim it "speeds up muscle recovery". 40 athletes are tested. With the current standard supplement the average recovery score is 72 points, and years of past data give a spread of σ = 10 points.

एक sports-nutrition कंपनी नया protein bar लाती है और दावा करना चाहती है कि यह "muscle recovery तेज़ करता है"। 40 athletes पर test होता है। मौजूदा standard supplement के साथ औसत recovery score 72 points है, और कई साल के पुराने data से फैलाव σ = 10 points है।

一家运动营养公司推出新蛋白棒，想宣称它能“加快肌肉恢复”。在 40 名运动员身上测试。使用现有标准补剂时平均恢复分数为 72 分，多年历史数据给出的离散程度为 σ = 10 分。

Why right-tailed?Right-tailed क्यों?为什么用右侧检验？

The marketing claim is only about improvement, and it was written down before any data came in. So a right-tailed test fits the claim. (A responsible company should still check separately that the bar does not make recovery worse — a one-tailed test cannot do that job.)

Marketing का दावा सिर्फ़ सुधार के बारे में है, और data आने से पहले लिखा गया था। इसलिए right-tailed test दावे से मेल खाता है। (एक ज़िम्मेदार कंपनी को फिर भी अलग से जाँचना चाहिए कि bar recovery को बिगाड़ता नहीं — one-tailed test यह काम नहीं कर सकता।)

营销主张只涉及改善，而且是在数据出来之前写下的。所以右侧检验符合这个主张。（负责任的公司仍应另行检查蛋白棒不会让恢复变差 —— 单侧检验做不到这一点。）

Story 2 — The School Inspector 🏫कहानी 2 — School Inspector 🏫故事 2 — 学校督察 🏫

A government inspector audits schools. The national average score on a standard maths exam is 68 marks, with σ = 15 marks. The inspector has no belief about whether a particular school is above or below average — she only wants to know if it is different. This is a two-tailed test.

एक सरकारी inspector schools का audit करती है। एक standard maths exam का national औसत 68 marks है, σ = 15 marks. Inspector को कोई अंदाज़ा नहीं कि कोई school औसत से ऊपर है या नीचे — वह सिर्फ़ जानना चाहती है कि school अलग है या नहीं। यह two-tailed test है।

一位政府督察对学校进行审查。某标准数学考试的全国平均分为 68 分，σ = 15 分。督察对某所学校高于还是低于平均没有预判 —— 她只想知道它是否不同。这是双侧检验。

Why two-tailed?Two-tailed क्यों?为什么用双侧检验？

The school could be unusually good (deserving praise) or unusually weak (needing help). Both extremes matter. With no direction in mind, use two-tailed.

School असाधारण रूप से अच्छा (तारीफ़ के लायक़) या असाधारण रूप से कमज़ोर (मदद की ज़रूरत) हो सकता है। दोनों extremes मायने रखते हैं। कोई दिशा न सोची हो, तो two-tailed लें।

这所学校可能异常优秀（值得表扬），也可能异常薄弱（需要帮助）。两个极端都重要。没有预设方向时，用双侧检验。

Story 3 — The Defective Microchip 💻कहानी 3 — ख़राब Microchip 💻故事 3 — 有缺陷的芯片 💻

A semiconductor plant should have a defect rate of no more than 2%. The QC engineer raises an alarm only if the rate rises above 2%; a lower rate is good news and needs no action. This is a right-tailed test on a proportion.

एक semiconductor plant में defect दर 2% से ज़्यादा नहीं होनी चाहिए। QC engineer सिर्फ़ तब alarm देता है जब दर 2% से ऊपर जाए; कम दर अच्छी ख़बर है और कुछ करने की ज़रूरत नहीं। यह proportion पर right-tailed test है।

某半导体工厂的次品率不应超过 2%。质检工程师只在次品率升到 2% 以上时报警；更低是好消息，无需处理。这是针对比例的右侧检验。

The p-value Differencep-value का अंतरp 值的区别

The p-value formula depends on the tail. Many students use the wrong p-value because they forget this.

p-value का formula tail पर निर्भर करता है। कई छात्र यह भूलकर ग़लत p-value इस्तेमाल करते हैं।

p 值的公式取决于尾的方向。许多学生忘了这一点，用错了 p 值。

Critical Values Quick ReferenceCritical Values — झटपट संदर्भ临界值速查表

These are the most used critical z-values. For t-tests the critical values also depend on the degrees of freedom (df = n − 1), but the same directional logic applies.

ये सबसे ज़्यादा इस्तेमाल होने वाली critical z-values हैं। t-tests में critical values degrees of freedom (df = n − 1) पर भी निर्भर करती हैं, पर दिशा का तर्क वही है।

这些是最常用的临界 z 值。t 检验的临界值还取决于自由度（df = n − 1），但方向的逻辑相同。

How to Choose: Three Questionsकैसे चुनें: तीन सवाल如何选择：三个问题

Answer these three questions, in order, before running any test.

कोई भी test चलाने से पहले, इन तीन सवालों के जवाब क्रम से दें।

在做任何检验之前，按顺序回答这三个问题。

The Danger of Switching Tails 🚨Tail बदलने का ख़तरा 🚨换尾的危险 🚨

A researcher runs an experiment and gets z = +1.80. With the planned two-tailed test (critical ±1.96), p = 0.072 — not significant. Disappointed, the researcher decides after seeing the result to switch to a right-tailed test (critical 1.645). Now p = 0.036 and the result is "significant".

एक researcher प्रयोग चलाता है और z = +1.80 पाता है। तय two-tailed test (critical ±1.96) में p = 0.072 — significant नहीं। निराश होकर researcher नतीजा देखने के बाद right-tailed test (critical 1.645) पर जाने का फ़ैसला करता है। अब p = 0.036 और नतीजा "significant" है।

一位研究者做实验得到 z = +1.80。按计划的双侧检验（临界 ±1.96），p = 0.072 —— 不显著。失望之下，研究者在看到结果之后改用右侧检验（临界 1.645）。现在 p = 0.036，结果“显著”了。

This is p-hacking. The direction was not predicted in advance; it was chosen because it gave a nicer answer. Anyone who always picks the tail that matches their data is really rejecting whenever |z| > 1.645 — and on pure noise that happens about 10% of the time, not 5%. Watch it happen:

यह p-hacking है। दिशा पहले से नहीं बताई गई थी; वह इसलिए चुनी गई क्योंकि उससे अच्छा जवाब मिला। जो हमेशा data से मेल खाती tail चुनता है, वह असल में |z| > 1.645 होने पर reject करता है — और शुद्ध शोर पर ऐसा लगभग 10% बार होता है, 5% नहीं। इसे होते देखें:

这就是 p-hacking。方向不是事先预测的，而是因为能得到更好看的答案才选的。总是选与数据相符那一侧的人，实际上是只要 |z| > 1.645 就拒绝 —— 在纯噪声上这大约有 10% 的概率发生，而不是 5%。看看它如何发生：

Python ImplementationPython ImplementationPython 实现

The three stories in codeतीनों कहानियाँ code में用代码实现三个故事

import numpy as np
from scipy import stats

def z_test(xbar, mu0, sigma, n, tail):
    """One-sample z-test (σ known). tail: 'two', 'right' or 'left'."""
    z = (xbar - mu0) / (sigma / np.sqrt(n))
    if tail == "two":
        p = 2 * stats.norm.sf(abs(z))
    elif tail == "right":
        p = stats.norm.sf(z)
    else:
        p = stats.norm.cdf(z)
    return z, p

# Story 1 — protein bar (right-tailed)
z, p = z_test(75.8, 72, 10, 40, "right")
print(f"Protein bar  (right): z = {z:+.3f}, p = {p:.4f}")

# Story 2 — school exam scores (two-tailed)
z, p = z_test(63, 68, 15, 50, "two")
print(f"School       (two):   z = {z:+.3f}, p = {p:.4f}")

# Story 3 — microchip defects (right-tailed, proportion)
n, x, p0 = 500, 16, 0.02
p_hat = x / n
z = (p_hat - p0) / np.sqrt(p0 * (1 - p0) / n)
print(f"Microchips   (right): z = {z:+.3f}, p = {stats.norm.sf(z):.4f}  (normal approx.)")
p_exact = stats.binomtest(x, n, p0, alternative="greater").pvalue
print(f"Microchips   (right): exact binomial p = {p_exact:.4f}")

One z, three p-valuesएक z, तीन p-values一个 z，三个 p 值

from scipy import stats

print(f"{'z':>6} {'two-tailed':>11} {'right':>8} {'left':>8}")
for z in [1.70, -1.70, 2.10, -2.10, 1.20]:
    two   = 2 * stats.norm.sf(abs(z))
    right = stats.norm.sf(z)        # P(Z > z)
    left  = stats.norm.cdf(z)       # P(Z < z)
    print(f"{z:+6.2f} {two:11.4f} {right:8.4f} {left:8.4f}")

Critical values from scipy.stats.norm.ppfscipy.stats.norm.ppf से critical values用 scipy.stats.norm.ppf 求临界值

from scipy import stats

print(f"{'alpha':>6} {'two-tailed':>11} {'one-tailed':>11}")
for a in [0.10, 0.05, 0.02, 0.01, 0.001]:
    print(f"{a:6.3f} {'±%.3f' % stats.norm.ppf(1 - a/2):>11} {'%.3f' % stats.norm.ppf(1 - a):>11}")

t-tests: the 'alternative' argumentt-tests: 'alternative' argumentt 检验：'alternative' 参数

import numpy as np
from scipy import stats

# SciPy t-tests take the tail through the 'alternative' argument
rng = np.random.default_rng(1)
scores = rng.normal(75.8, 10, 40)         # 40 athletes, protein bar

for alt in ["two-sided", "greater", "less"]:
    res = stats.ttest_1samp(scores, popmean=72, alternative=alt)
    print(f"alternative={alt:<10} t = {res.statistic:+.3f}   p = {res.pvalue:.4f}")

SciPy's alternative argument (version 1.6 and later) selects the tail: 'two-sided', 'greater' (right-tailed) or 'less' (left-tailed). Notice the right-tailed p is exactly half the two-tailed p, and the left-tailed p is 1 minus that.

SciPy का alternative argument (version 1.6 और बाद में) tail चुनता है: 'two-sided', 'greater' (right-tailed) या 'less' (left-tailed)। ध्यान दें, right-tailed p, two-tailed p का ठीक आधा है, और left-tailed p उसका 1 घटा।

SciPy 的 alternative 参数（1.6 及以上版本）用于选择尾：'two-sided'、'greater'（右侧）或 'less'（左侧）。注意右侧 p 正好是双侧 p 的一半，左侧 p 则是 1 减去它。

Simulation: what tail-switching does to false positivesSimulation: tail बदलने से false positives पर असर模拟：换尾对假阳性的影响

import numpy as np

# 100,000 experiments where H₀ is TRUE (z ~ N(0, 1))
rng = np.random.default_rng(0)
z = rng.standard_normal(100_000)

honest_two   = np.mean(np.abs(z) > 1.960)   # planned two-tailed
honest_right = np.mean(z > 1.645)           # planned right-tailed
switcher     = np.mean(np.abs(z) > 1.645)   # picks the tail AFTER seeing the sign

print(f"Planned two-tailed:           {honest_two*100:.1f}% false positives")
print(f"Planned right-tailed:         {honest_right*100:.1f}% false positives")
print(f"Choose tail after peeking:    {switcher*100:.1f}% false positives")

Power: one-tailed vs two-tailedPower: one-tailed vs two-tailed检验力：单侧 vs 双侧

from scipy import stats

# Power to detect a true shift of delta standard errors (α = 0.05)
print(f"{'delta':>6} {'right-tailed':>13} {'two-tailed':>11}")
for d in [-1.0, 0.0, 1.0, 2.0, 2.5, 3.0]:
    right = stats.norm.sf(1.645 - d)
    two   = stats.norm.sf(1.960 - d) + stats.norm.cdf(-1.960 - d)
    print(f"{d:+6.1f} {right*100:12.1f}% {two*100:10.1f}%")

Summary — Side by Sideसारांश — साथ-साथ总结 — 并排对比