Basic Probability Foundations

The Language of Uncertainty 🎲अनिश्चितता की भाषा 🎲不确定性的语言 🎲

Every day you decide under uncertainty. Will it rain? Will the bus be on time? Is this email a scam? Your brain guesses the chances — but its guesses are shaped by mood, memory and bias.

हर दिन आप अनिश्चितता में फ़ैसले लेते हैं। बारिश होगी? बस समय पर आएगी? यह email धोखा है? आपका दिमाग़ chances का अंदाज़ा लगाता है — पर ये अंदाज़े मूड, याददाश्त और पूर्वाग्रह से बनते हैं।

每天你都在不确定中做决定。会下雨吗？公交车会准时吗？这封邮件是诈骗吗？大脑会估计可能性 —— 但这些估计受情绪、记忆和偏见影响。

Probability makes this exact. It gives every outcome a number between 0 and 1. A probability of 0 means "impossible". A probability of 1 means "certain". Everything interesting lives in between.

Probability इसे सटीक बनाती है। यह हर नतीजे को 0 और 1 के बीच एक संख्या देती है। Probability 0 का मतलब "असंभव"। Probability 1 का मतलब "निश्चित"। सारी दिलचस्प चीज़ें इनके बीच हैं।

概率让这件事变得精确。它给每个结果一个 0 到 1 之间的数。概率 0 表示“不可能”，概率 1 表示“必然”。所有有趣的事情都在两者之间。

Sample Space & Events 🎯Sample Space और Events 🎯样本空间与事件 🎯

The Story: Rolling a Die at Game Nightकहानी: Game Night पर Die फेंकना故事：游戏之夜掷骰子

It is game night. You roll a normal six-sided die. Before it lands, you can list every possible result: 1, 2, 3, 4, 5 or 6. It cannot land on 7. This full list of outcomes is the sample space.

Game night है। आप एक सामान्य छह-मुखी die फेंकते हैं। गिरने से पहले ही आप हर संभव नतीजा लिख सकते हैं: 1, 2, 3, 4, 5 या 6। यह 7 पर नहीं गिर सकता। नतीजों की यह पूरी सूची sample space है।

游戏之夜，你掷一颗普通的六面骰子。落地前，你就能列出所有可能结果：1、2、3、4、5、6。它不可能出现 7。这份完整的结果清单就是样本空间。

Your friend says: "I win if I roll an even number." The outcomes {2, 4, 6} form an event. An event is any group of outcomes you care about — one outcome ("a 6") or many ("a prime number above 3", which is just {5}).

आपका दोस्त कहता है: "सम संख्या आई तो मैं जीता।" नतीजे {2, 4, 6} एक event बनाते हैं। Event नतीजों का कोई भी समूह है जिसकी आपको परवाह है — एक नतीजा ("छक्का") या कई ("3 से बड़ी prime संख्या", जो सिर्फ़ {5} है)।

朋友说：“掷出偶数我就赢。”结果 {2, 4, 6} 构成一个事件。事件就是你关心的任意一组结果 —— 可以是一个结果（“掷出 6”），也可以是多个（“大于 3 的质数”，其实只有 {5}）。

Common Sample Spacesआम Sample Spaces常见样本空间

Special Types of EventsEvents के ख़ास प्रकार特殊类型的事件

Events in Pictures — Understand Before the Maths 📊तस्वीरों में Events — गणित से पहले समझें 📊图解事件 — 先理解，再算数 📊

Take one die. Let A = "even" = {2, 4, 6} and B = "greater than 3" = {4, 5, 6}. Each number below sits in its real region. The rectangle is the whole sample space Ω. Shading shows which outcomes count.

एक die लें। मान लें A = "सम" = {2, 4, 6} और B = "3 से बड़ा" = {4, 5, 6}। नीचे हर संख्या अपने असली हिस्से में है। आयत पूरा sample space Ω है। रंग दिखाता है कौन-से नतीजे गिने जाते हैं।

取一颗骰子。设 A =“偶数”= {2, 4, 6}，B =“大于 3”= {4, 5, 6}。下图每个数字都放在它真实所属的区域。矩形是整个样本空间 Ω，阴影表示哪些结果被计入。

Three Meanings of Probability 🔭Probability के तीन अर्थ 🔭概率的三种含义 🔭

Over three centuries, people developed three ways to say what a probability is. Each fits different problems, and a data scientist uses all three.

तीन सदियों में लोगों ने यह बताने के तीन तरीके बनाए कि probability क्या है। हर तरीका अलग समस्याओं में काम आता है, और data scientist तीनों का इस्तेमाल करता है।

三个世纪以来，人们发展出三种方式来解释概率是什么。每种适合不同的问题，数据科学家三种都会用。

Type 1 — Classical Probability 🎴प्रकार 1 — Classical Probability 🎴类型 1 — 古典概率 🎴

The Story: Laplace and the Equally Likely Worldकहानी: Laplace और बराबर संभावना की दुनिया故事：拉普拉斯与等可能的世界

In 1814 the French mathematician Pierre-Simon Laplace published his Philosophical Essay on Probabilities. He wrote down the classical rule clearly: when all outcomes are equally likely — a fair coin, a fair die, a well-shuffled deck — you can find a probability just by counting, before any data is collected. (Cardano, Pascal and Fermat had used the idea earlier.)

1814 में फ़्रांसीसी गणितज्ञ Pierre-Simon Laplace ने Philosophical Essay on Probabilities प्रकाशित किया। उन्होंने classical नियम साफ़ लिखा: जब सारे नतीजे बराबर संभावना वाले हों — सही सिक्का, सही die, अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी — तो probability सिर्फ़ गिनकर निकाली जा सकती है, कोई data जुटाने से पहले। (Cardano, Pascal और Fermat यह विचार पहले इस्तेमाल कर चुके थे।)

1814 年，法国数学家拉普拉斯出版了《概率的哲学随笔》。他清楚地写出古典法则：当所有结果等可能时 —— 均匀的硬币、均匀的骰子、洗好的牌 —— 不用收集数据，只靠计数就能算出概率。（卡尔达诺、帕斯卡和费马更早就用过这个想法。）

Type 2 — Frequentist Probability 📊प्रकार 2 — Frequentist Probability 📊类型 2 — 频率概率 📊

The Story: Halley and the First Life Insurance Mathsकहानी: Halley और जीवन बीमा का पहला गणित故事：哈雷与最早的寿险数学

In 1693 Edmond Halley (of Halley's Comet) published one of the first reliable life tables. It used birth and death records from the city of Breslau (today Wrocław, Poland). Halley could not say when any one person would die. But his table showed that of 445 people alive at age 40, about 436 were still alive at 41. So roughly 9 in 445 — about 2 in 100 — died in that year. Fair prices for life insurance could now be calculated.

1693 में Edmond Halley (Halley's Comet वाले) ने पहली भरोसेमंद life tables में से एक प्रकाशित की। इसमें Breslau शहर (आज Wrocław, Poland) के जन्म और मृत्यु रिकॉर्ड इस्तेमाल हुए। Halley यह नहीं बता सकते थे कि कोई एक व्यक्ति कब मरेगा। पर उनकी table ने दिखाया कि 40 की उम्र में जीवित 445 लोगों में से लगभग 436, 41 पर भी जीवित थे। यानी लगभग 445 में 9 — लगभग 100 में 2 — उस साल मरे। अब जीवन बीमा की सही कीमत निकाली जा सकती थी।

1693 年，埃德蒙·哈雷（哈雷彗星的发现者）发表了最早的可靠生命表之一。它使用了布雷斯劳（今波兰弗罗茨瓦夫）的出生与死亡记录。哈雷无法预测某个人何时去世，但他的表显示：40 岁时在世的 445 人中，约 436 人活到 41 岁。也就是 445 人中约 9 人 —— 约每 100 人中 2 人 —— 在那一年去世。从此可以计算出合理的寿险价格。

This is frequentist probability: the long-run share of times an event happens over many repeated trials. It needs no "equally likely" assumption — only plenty of data.

यही frequentist probability है: बहुत सारे दोहराए trials में किसी event के होने का लंबी अवधि का हिस्सा। इसे "बराबर संभावना" की मान्यता नहीं चाहिए — बस काफ़ी data।

这就是频率概率：在大量重复试验中事件发生的长期比例。它不需要“等可能”假设 —— 只需要足够多的数据。

The Law of Large Numbers — Real RunsLaw of Large Numbers — असली Runs大数定律 — 真实模拟

Below are three real computer runs of 10,000 fair coin flips (not a hand-drawn sketch). Early on they wander far from 0.5. Later they settle down and stay inside the shrinking band.

नीचे 10,000 सही सिक्का उछालों के तीन असली computer runs हैं (हाथ से बना sketch नहीं)। शुरुआत में ये 0.5 से दूर भटकते हैं। बाद में शांत होकर सिकुड़ते band के अंदर रहते हैं।

下面是 10,000 次公平抛硬币的三次真实电脑模拟（不是手绘示意图）。开始时它们远离 0.5，之后逐渐稳定并保持在不断收窄的带内。

Type 3 — Bayesian Probability 🔄प्रकार 3 — Bayesian Probability 🔄类型 3 — 贝叶斯概率 🔄

The Story: The Lost Submarineकहानी: खोई हुई पनडुब्बी故事：失踪的潜艇

In May 1968 the US nuclear submarine Scorpion vanished in the Atlantic. Searching the whole ocean floor was hopeless. Navy scientist John Craven used Bayesian reasoning. He asked experienced submariners and other experts how likely each loss scenario was. Each scenario pointed to different grid squares of sea floor. Combined, they gave a probability for every square, and the search went to the most likely squares first.

मई 1968 में अमेरिकी परमाणु पनडुब्बी Scorpion Atlantic में ग़ायब हो गई। पूरे समुद्र तल को खोजना नामुमकिन था। Navy वैज्ञानिक John Craven ने Bayesian सोच अपनाई। उन्होंने अनुभवी पनडुब्बी अफ़सरों और दूसरे विशेषज्ञों से पूछा कि हर हादसे की कहानी (scenario) कितनी संभव है। हर scenario समुद्र तल के अलग खानों की ओर इशारा करता था। मिलाकर इन्होंने हर खाने की probability दी, और खोज पहले सबसे संभावित खानों में हुई।

1968 年 5 月，美国核潜艇天蝎号在大西洋失踪。搜索整个海底毫无希望。海军科学家约翰·克雷文采用了贝叶斯推理。他请经验丰富的潜艇军官和其他专家评估每种失事情景的可能性。每种情景指向海底网格中的不同方块。综合起来就得到每个方块的概率，搜索先从最可能的方块开始。

In October 1968 the wreck was found in about 3,000 m of water southwest of the Azores — reported to be within about 220 yards (≈ 200 m) of Craven's best estimate. Bayesian search has since helped find lost aircraft and other submarines.

अक्टूबर 1968 में मलबा Azores के दक्षिण-पश्चिम में लगभग 3,000 m गहराई में मिला — बताया जाता है कि Craven के सबसे अच्छे अनुमान से लगभग 220 yards (≈ 200 m) के अंदर। तब से Bayesian search ने खोए विमान और दूसरी पनडुब्बियाँ ढूँढने में मदद की है।

1968 年 10 月，残骸在亚速尔群岛西南约 3,000 米深的海底被找到 —— 据报道距克雷文的最佳估计点约 220 码（≈ 200 米）以内。此后，贝叶斯搜索还帮助找到了失事飞机和其他潜艇。

The Rules of the Game — Kolmogorov's Axioms 📏खेल के नियम — Kolmogorov के Axioms 📏游戏规则 — 柯尔莫哥洛夫公理 📏

All three meanings of probability follow the same maths. In 1933 Andrey Kolmogorov wrote it down as three simple axioms — starting rules that are accepted, not proved. Every other rule in this tutorial is derived from them.

Probability के तीनों अर्थ एक ही गणित मानते हैं। 1933 में Andrey Kolmogorov ने इसे तीन सरल axioms के रूप में लिखा — शुरुआती नियम जो माने जाते हैं, साबित नहीं किए जाते। इस tutorial का हर दूसरा नियम इन्हीं से निकाला गया है।

三种概率含义遵循同一套数学。1933 年，柯尔莫哥洛夫把它写成三条简单的公理 —— 公理是被接受的出发点，而不是被证明的结论。本教程中其他所有法则都由它们推导出来。

Rule 1 — The Addition Rule (OR) ➕नियम 1 — Addition Rule (OR) ➕法则 1 — 加法法则（或）➕

The Story: Raffle Tickets and Playing Cardsकहानी: Raffle Tickets और ताश के पत्ते故事：抽奖券与扑克牌

A school raffle has 100 tickets. You hold tickets #7 and #23. Only one ticket is drawn, so both cannot win. Your chance is 1/100 + 1/100 = 2%. Adding works because the events are mutually exclusive.

एक school raffle में 100 tickets हैं। आपके पास #7 और #23 हैं। सिर्फ़ एक ticket निकलता है, इसलिए दोनों नहीं जीत सकते। आपका chance 1/100 + 1/100 = 2%। जोड़ना इसलिए काम करता है क्योंकि events mutually exclusive हैं।

学校抽奖共 100 张券，你持有 7 号和 23 号。只抽一张，所以两张不可能同时中奖。你的概率是 1/100 + 1/100 = 2%。能直接相加是因为两个事件互斥。

Now: "What is the chance of drawing a King OR a Heart?" The King of Hearts is both. Adding P(King) + P(Heart) would count it twice. So we subtract the overlap once.

अब: "बादशाह या पान (Heart) निकलने का chance क्या है?" पान का बादशाह दोनों है। P(King) + P(Heart) जोड़ने पर वह दो बार गिना जाएगा। इसलिए overlap को एक बार घटाते हैं।

再看：“抽到 K 或红心的概率是多少？”红心 K 两者都是。直接相加 P(K) + P(红心) 会把它数两次，所以要减去一次重叠部分。

Rule 2 — The Multiplication Rule (AND) ✖️नियम 2 — Multiplication Rule (AND) ✖️法则 2 — 乘法法则（且）✖️

The Story: Guessing a PINकहानी: PIN का अंदाज़ा故事：猜 PIN 码

A security analyst asks: what is the chance of guessing a random 4-digit PIN on the first try? Each digit has 10 choices, chosen independently. So there are 10 × 10 × 10 × 10 = 10,000 PINs, and P(right first time) = 1/10,000 = 0.01%. (Real people often pick easy PINs like 1234, so real attackers do better than this — the "independent and equally likely" assumption matters.)

एक security analyst पूछता है: random 4-अंकों वाला PIN पहली कोशिश में सही अंदाज़ा लगाने का chance क्या है? हर अंक के 10 विकल्प हैं, independent तरीके से चुने गए। तो 10 × 10 × 10 × 10 = 10,000 PINs हैं, और P(पहली बार सही) = 1/10,000 = 0.01%। (असली लोग अक्सर 1234 जैसे आसान PIN चुनते हैं, इसलिए असली हमलावर इससे बेहतर करते हैं — "independent और बराबर संभावना" वाली मान्यता मायने रखती है।)

安全分析师问：第一次就猜中一个随机 4 位 PIN 的概率是多少？每位数字有 10 种选择，且相互独立。共有 10 × 10 × 10 × 10 = 10,000 种 PIN，P(一次猜中) = 1/10,000 = 0.01%。（现实中人们常选 1234 这类简单 PIN，所以真实攻击者成功率更高 ——“独立且等可能”的假设很关键。）

Testing Independence 🔍Independence की जाँच 🔍检验独立性 🔍

How do you know if two events are independent? Work out P(A), P(B) and P(A ∩ B) from your data, and check whether the multiplication rule holds.

कैसे पता करें कि दो events independent हैं? अपने data से P(A), P(B) और P(A ∩ B) निकालें, और देखें कि multiplication rule लागू होता है या नहीं।

怎么知道两个事件是否独立？从数据算出 P(A)、P(B) 和 P(A ∩ B)，检查乘法法则是否成立。

The Complement Shortcut — The Birthday Problem 🎂Complement का Shortcut — Birthday Problem 🎂对立事件捷径 — 生日问题 🎂

How many people must be in a room for a 50% chance that two share a birthday? Most people guess around 180. The answer is just 23. The trick is the complement rule: it is hard to count all the ways of "at least one match", but easy to find P(all different) and subtract it from 1.

कमरे में कितने लोग हों कि दो का जन्मदिन एक होने का 50% chance हो? ज़्यादातर लोग लगभग 180 कहते हैं। जवाब सिर्फ़ 23 है। तरकीब complement rule है: "कम से कम एक मेल" के सारे तरीके गिनना मुश्किल है, पर P(सब अलग) निकालकर 1 से घटाना आसान है।

房间里要有多少人，才能有 50% 的概率出现两人同一天生日？多数人会猜 180 左右。答案只是 23。窍门是对立事件法则：直接数“至少一对相同”的所有情况很难，但算出 P(全部不同) 再用 1 减去它很容易。

Python ImplementationPython ImplementationPython 实现

Classical probability by listing the sample spaceSample space लिखकर classical probability列出样本空间计算古典概率

# 1) Classical probability: list the sample space and count
from fractions import Fraction
from itertools import product

omega = list(product(range(1, 7), repeat=2))      # two dice: 36 outcomes
print("Size of sample space:", len(omega))

def P(event):
    favourable = [w for w in omega if event(w)]
    return Fraction(len(favourable), len(omega))

A = lambda w: w[0] + w[1] == 7                   # sum is 7
B = lambda w: w[0] == 6 or w[1] == 6             # at least one six
print("P(sum = 7)        =", P(A))
print("P(at least one 6) =", P(B))
print("P(A and B)        =", P(lambda w: A(w) and B(w)))
print("P(A or B)         =", P(lambda w: A(w) or B(w)))
print("Check addition rule:", P(A) + P(B) - P(lambda w: A(w) and B(w)))

Frequentist probability: the law of large numbersFrequentist probability: law of large numbers频率概率：大数定律

# 2) Frequentist probability: relative frequency settles down (Law of Large Numbers)
import numpy as np
rng = np.random.default_rng(7)
flips = rng.integers(0, 2, size=100_000)          # 1 = heads
running = np.cumsum(flips) / np.arange(1, flips.size + 1)
for n in [10, 100, 1_000, 10_000, 100_000]:
    print(f"after {n:>7,} flips: share of heads = {running[n-1]:.4f}  (error {abs(running[n-1]-0.5):.4f})")

Checking the card rules by brute forceताश के नियम brute force से जाँचना用穷举验证纸牌法则

# 3) Card rules checked by brute force over a real deck
from fractions import Fraction
from itertools import permutations
ranks = "A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K".split()
suits = "♠♥♦♣"
deck = [(r, s) for r in ranks for s in suits]

king  = sum(r == "K" for r, s in deck)
heart = sum(s == "♥" for r, s in deck)
both  = sum(r == "K" and s == "♥" for r, s in deck)
print("P(King or Heart) =", Fraction(king + heart - both, 52))

pairs = list(permutations(deck, 2))                # ordered draws, no replacement
aces  = sum(a[0] == "A" and b[0] == "A" for a, b in pairs)
print("P(two Aces, no replacement)  =", Fraction(aces, len(pairs)))
print("P(two Aces, with replacement) =", Fraction(4, 52) ** 2)
reds = Fraction(26, 52) * Fraction(25, 51) * Fraction(24, 50)
print("P(three reds in a row)       =", reds, "=", round(float(reds), 4))

Bayes' theorem, one test at a timeBayes' theorem, एक-एक test贝叶斯定理：逐次检测

# 4) Bayes: update after each positive test
prior, sens, spec = 0.01, 0.95, 0.95
p = prior
for test in range(1, 4):
    p_pos = sens * p + (1 - spec) * (1 - p)        # total probability
    p = sens * p / p_pos                           # Bayes' theorem
    print(f"after positive test {test}: P(disease) = {p:.3f}")

Independence check and the birthday problemIndependence जाँच और birthday problem独立性检验与生日问题

# 5) Independence check and the complement rule (birthday problem)
pA, pB, pAB = 100/200, 140/200, 90/200
print("P(A)P(B) =", pA * pB, " P(A and B) =", pAB, " P(B|A) =", pAB / pA)
print("independent?", abs(pA * pB - pAB) < 1e-9)

def p_shared(n):
    p_none = 1.0
    for k in range(n):
        p_none *= (365 - k) / 365
    return 1 - p_none                              # complement rule
for n in [10, 23, 30, 50, 70]:
    print(f"{n} people: P(at least two share a birthday) = {p_shared(n):.3f}")

All the Rules Together — Quick Referenceसारे नियम एक साथ — झटपट सारांश全部法则 — 速查表

The Golden Rules of ProbabilityProbability के सुनहरे नियम概率的黄金法则